ПОСОБИЕ

ПО ПРОВЕДЕНИЮ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  ГЛОНАСС /GPS НАВИГАТОРОВ

 

 

 

Разработчики       -      д.т.н., профессор Шахраманьян М.А

                         учитель математики школы №444  Шадрикова О.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2008 год

Содержание.

 

 

1.	Пояснительная записка.	3
2.	План урока алгебры по теме «Абсолютная и относительная погрешности».	4
3.	План проведения урока геометрии по теме «Формула длины отрезка».	9
4.	План проведения урока геометрии по теме «Площадь многоугольника».	11
5.	План проведения урока геометрии по теме «Тригонометрия прямоугольного треугольника».	12
6.	План проведения урока геометрии по теме «Тригонометрия прямоугольного треугольника». Рекомендуется для проведения в профильных классах.	18
7.	План проведения урока по теме «Математическое ожидание и дисперсия» для учащихся 9 класса.	20
8.	План проведения урока по теме «Обработка статистических данных» с применение программного продукта «Живая статистика. Наглядный анализ данных».	22
9.	Список литературы.	24

 

Пояснительная записка

 

Представленные методические рекомендации по применению космических технологий рекомендуются в качестве  пособия для учителей, ведущих курс математики в средней общеобразовательной школе (базовый уровень), а также для учителей профильных школ или школ с углубленным изучением предмета. В качестве примеров использования комплекса приведены отдельные уроки из различных разделов математики. Содержание уроков опирается на государственный образовательный стандарт.

Основная задача обучения математике – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Необходимо также сформировать у школьников математический стиль мышления, уделяя при этом большое внимание осознанному владению приемами и способами умственной деятельности. Кроме этого, овладение математикой на высоком теоретическом и практическом уровнях невозможно без формирования и развития творческой активности и познавательной самостоятельности учащихся.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предполагает ориентацию учащихся на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе.

В настоящее время школьный курс математики содержит множество тем алгебры, математического анализа, геометрии и математической статистики. Педагогам требуется излагать много трудных и сложных для понимания учащихся тем и методов, которые содержат много формул и трудоемких выкладок. К тому же в программе и учебниках мало уделяется внимания практической значимости изучаемого материала. Для ученика более важным, особенно в профильных школах, является уверенность в практической необходимости получаемых знаний. Оторванность курса от практики, сухие цифры и выкладки не позволяют учащимся осознать свои возможности. Каждый ребенок хочет увидеть результат, полученный с помощью знаний и умений, которые он приобретает в школе на уроке.

Целью данной разработки является внедрение в  образовательный процесс школы методов, которые расширяет спектр практических знаний, умений и навыков  учащихся.

Кроме этого, методика обеспечивает формирование необходимых навыков использования  для исследовательской деятельности учащихся, стимулирует познавательный процесс, прогнозирование и оценку возможных результатов. Знания, полученные и подкрепленные реальными измерениями, намного лучше усваиваются учащимися.

План урока алгебры по теме «Абсолютная и относительная погрешности.»

Цель урока:

- познакомить учащихся с понятием абсолютной и относительной погрешностями,

- научить оценивать экспериментальные данные.

Основные понятия:

Измерение ― нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерения.

   Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно средствами измерения.

   Косвенное измерение — определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями.

   При любом измерении всегда неизбежна большая или маленькая погрешность.

   Максимальная абсолютная погрешность(Δ) — предельное значение погрешности.

   Для оценки точности измерения надо знать, какую часть измеряемой величины составляет максимальная абсолютная погрешность, допущенная при измерении, это число называется максимальной относительной погрешностью(e).

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величина абсолютной погрешности сама по себе дает мало ин­формации о действительной точности измерения, если не сопос­тавлять ее со значением измеряемой величины. Действительно, пусть погрешность, полученная при измерении линейных раз­меров, равна 0,5 см. или при этом идет речь о длине, на­пример, спичечной коробки, то точность будет очень плохой, а если с такой же погрешностью измерена длина здания, то точность измерения следует считать даже излиш­не высокой.

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.

Заметим, что если величины случайной и приборной погрешностей близки друг к другу, то обе они влияют на точность результата, примерно в одинаковой степени. Поэтому иногда в качестве максимального значения абсолютной погрешности берут сумму указанных погрешностей.

Поэтому помимо абсолютной погрешности часто исполь­зуется так называемая относительная погрешность измерения ε. Она равна отношению абсолютной погрешности измерения к среднему значению измеряемой величины :

         

Относительную погрешность иногда выражают в процентах. Тог­да:

_.

Например, отрезок пути, S=(151±1) см, измерен с абсолютной погрешностью DS=1см. Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. В приведенном примере относительная погрешность равна . Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.

Абсолютная погрешность при косвенных измерениях рассчитывается иначе, чем при прямых измерениях. Для вычисления абсолютной погрешности воспользуемся тем, что . Откуда . Из сказанного выше следует, что способ вычисление относительной погрешности e должен зависеть от формулы (вида функции), по которой производился расчет искомой величины. В теории погрешностей показывается как это можно сделать в общем виде. Достаточно продвинутые ученики самостоятельно получают формулы. Можно воспользоваться набором готовых формул для вычисления относительной погрешности.

Вид функции	Относительная погрешность
Х=А ± В
Х= АВ
Х=
Х=
Х=

 

Ход урока.

Преподаватель знакомит учащихся с понятиями: экспериментальные и точные данные, прямые измерения и косвенные измерения.

Учащиеся самостоятельно получают координаты своего места нахождения и записывают результаты в таблицы измерений, указывая номер эксперимента, координаты, погрешность прибора.

С помощью технического описания определяется абсолютная погрешность измерений по формуле х=х₀ ±Dх.

Интересно вычислить относительную погрешность полученных измерений и сравнить результаты ребят в классе. Для учащихся более продвинутых (например профильных школ) возможно сравнение данных по некоторым характеристикам измерений, например, количество видимых спутников или их расположения в момент измерений.

Затем учащимся  предлагается встать на некотором расстоянии друг от друга и зафиксировать свои координаты ( более интересным будет размещение на дальних расстояниях на улице, если позволяют возможности приборов для более точных измерений расстояний ).

Полученные экспериментальные данные педагог использует для объяснения понятия косвенные экспериментальные данные. Т.е. данные полученные в результате обработки первичных экспериментальных данных.

Для начала определяется длина пути или суммарное расстояние между объектами. В объяснениях необходимо обратить внимание на определение абсолютной и относительной погрешностях полученных результатов. Для продвинутых учащихся, возможно, сначала спрогнозировать разброс вычислений, а затем подтвердить полученные результаты общей формулой погрешностей для определения суммы и разности измерений.

Результатом урока будем считать таблицу выведенных или подтвержденных экспериментом формул для вычисления погрешности косвенных измерений.

В заключении урока преподаватель делает обобщающий вывод и, по возможности, излагает общую теорию в подтверждение полученных результатов. Для учащихся отметивших дополнительную информацию о расположении спутников во время проведения лабораторных измерений будет полезно следующая информация, которую может сообщить им как преподаватель, так и ученики старших классов в виде презентации.

СПУТНИКОВАЯ СИСТЕМА ГЛОНАСС

Спутниковая система ГЛОНАСС (Глобальная навигационная спутниковая система) предназначена для определения местоположения, скорости движения, а также точного времени морских, воздушных, сухопутных и других видов потребителей.

Система ГЛОНАСС состоит из трех подсистем:
- подсистемы космических аппаратов (ПКА);
- подсистемы контроля и управления (ПКУ);
- навигационной аппаратуры потребителей (НАП).
Подсистема космических аппаратов системы ГЛОНАСС состоит из 24-х спутников, находящихся на круговых орбитах высотой 19100 км, наклонением 64,8° и периодом обращения 11 часов 15 минут в трех орбитальных плоскостях. Орбитальные плоскости разнесены по долготе на 120°. В каждой орбитальной плоскости размещаются по 8 спутников с равномерным сдвигом по аргументу широты 45°.

 Кроме этого, в плоскостях положение спутников сдвинуты относительно друг друга по аргументу широты на 15°. Такая конфигурация ПКА позволяет обеспечить непрерывное и глобальное покрытие земной поверхности и околоземного пространства навигационным полем.

Принципиально точность определения координат объектов с помощью СНС GPS и ГЛОНАСС примерно одинакова. Сигналы в системе GPS излучаются на частоте 1227 МГц и 1575 МГц, а ГЛОНАСС - 1250 МГц и 1600 МГц и кодируются для организации так называемого «селективного (избирательного) доступа». Оба сигнала используют два кода. Первый из них в GPS называется «легко обнаруживаемый», а в ГЛОНАСС - «стандартной точности». Второй код в GPS называется «закрытый» (в ГЛОНАСС - «высокой точности») и предназначен для санкционированного использования.

СКП определения координат объектов с помощью обеих СНС GPS и ГЛОНАСС находится в пределах 5-40 м, СКП измерения скорости - 0,04-0,2 узла (от  0,02 м/с до 0,1 м/с), высоты - 8-60 м.

 

Понятно, что для решения некоторых задач подобная точность не может считаться удовлетворительной, поэтому был внедрен дифференциальный режим функционирования среднеорбитных СНС. Суть этого режима состоит в том, что погрешность определения места с помощью СНС может быть уменьшена до десятков сантиметров путем оперативного измерения и излучения специальных поправок, автоматически принимаемых и учитываемых в аппаратуре потребителя услуг СНС. Измерять поправки целесообразно на стационарных объектах, а расстояние и время доведения их до потребителя не должны превышать 500 км и 20 минут соответственно (из-за так называемого уровня пространственной и временной корреляции). Такими стационарными объектами оказались радиомаяки, расположенные на побережье морей и океанов. Начата установка подобной аппаратуры и в России. Движение по искусственному каналу, ведущему в Санкт-Петербургский порт, обеспечивает дифференциальный режим СНС, поправки к сигналам которой излучаются радиомаяком Шепелевский, расположенным на берегу Финского залива.

В результате применения дифференциального режима СНС появилась принципиальная возможность осуществлять управление любым транспортным средством (от самолета и автомобиля до корабля) оператором, находящимся вне этого средства.

Одним из факторов, влияющих на точность GPS, является геометрия спутников. Простыми словами, понятие "геометрия спутников" означает то, как они расположены относительно друг друга и GPS-приемника. Если, например, приемник "видит" четыре спутника и все четыре расположены в северном и западном направлениях, то спутниковая геометрия скорее плохая. Причем вплоть до того, что приемник вообще не сможет определить местоположение. Почему? Потому что все расстояния, измеренные до спутников, будут лежать в одном глобальном направлении. Это означает, что триангуляция будет плохой и что область пересечения построенных прямых будет довольно большой (т.е. область вероятного положения будет занимать значительное пространство и точно указать координаты невозможно). В этом случае, даже если приемник выдает некоторые значения координат, их точность не будет достаточно хороша (возможно, 100 - 150 м). Если же эти четыре спутника будут находиться в разных направлениях, то точность значительно возрастет. Предположим, что они расположены равномерно по сторонам горизонта - на севере, востоке, юге и западе. Тогда, очевидно, геометрия будет очень хорошей. Область, определяемая пересечением соответствующих прямых, будет невелика, и мы можем быть уверены в правильности рассчитанного местоположения. В таком случае точность может быть до 3-5 м.

Геометрия спутников становится особенно важной при использовании GPS-приемника в автомобиле, среди высоких зданий, в горах или в глубоких ущельях. Если сигналы от некоторых спутников экранированы, то точность определения местоположения будет зависеть от оставшихся "видимыми" спутников (а от их количества - возможность провести расчеты вообще). Чем большая часть неба заслонена искусственными или естественными предметами, тем более сложно определить положение. Хорошие модели GPS-приемников показывают не только сколько спутников находятся в зоне видимости, но и где они расположены на небе (направление и высоту над горизонтом) для того, чтобы Вы могли определить, не экранируется ли сигнал от данного спутника.

Другим источником ошибок является переотражение спутникового сигнала от различных объектов. (В быту мы встречаемся с эти явлением в виде появления раздвоенного изображения на экране телевизора.) В случае GPS переотражение возникает при взаимодействии сигнала со зданиями или рельефом местности до того, как он достигнет приемной антенны. Такому сигналу требуется больше времени для достижения приемника, чем прямому. Это увеличение времени заставляет приемник считать, что спутник находится на большем расстоянии, чем на самом деле и это увеличивает ошибку при определении положения. Такие переотражения, если происходят, то могут добавить около 5 м в общую ошибку.

План проведения урока геометрии по теме «Формула длины отрезка».

Цель проведения занятия:

1.     Закрепление теоретического материала по данной теме.

2.     Ознакомление с задачами практического содержания.

Этот урок можно проводить и в более ранних классах при достаточной подготовке учащихся. Необходимым считаю применение на уроке компьютеров с программой MathCAD или же хотя бы  калькуляторов для  упрощения вычислений.

         Ход занятия.

         Учащиеся разбиваются на группы. Каждой группе дается задание: снять координаты реального объекта (возможно устроить соревнование на точность и скорость измерений, можно сравнивать характеристики похожих объектов, например, домов). С учащимися составляется рисунок измеряемого объекта, в котором указываются точки для снятия точных координат и подготавливается таблица данных. По возможности учащиеся снимают как можно точнее, т.е. произвести несколько измерений. Все полученные результаты заносятся в таблицы. Для определения длины и ширины и упрощения вычислений можно фиксировать только две координаты точки, не учитывая высоту над уровнем моря.

 

Название точки на рисунке объекта	Первая координата	Вторая координата	Третья координата (высота)	Погрешность измерений

 

Затем, учащиеся получают следующее задание: определить линейные размеры измеряемого объекта с помощью формулы расстояния между точками: .

Интересно сравнить точность измерений, полученных разными группами учащихся. В уроке по теме «Абсолютная и относительная погрешности» объяснялся материал по вычислениям погрешностей для косвенных измерений. Результатами урока рекомендуется воспользоваться для определения абсолютной и относительной погрешностей полученных измерений объекта.

Для повышения мотивации учащихся можно сформулировать задачу в игровой форме с заданием по определению размеров определенного объекта на скорость или качество выполненных измерений.

Для продвинутых учащихся необходимо отметить существование третьей координаты каждой точки и ввести формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве:

.

После полученных результатов можно усложнить задание и предложить учащимся нарисовать план объекта в масштабе.

Применение программных продуктов или калькуляторов поможет упростить громоздкие вычисления.

 

Можно предложить другой вариант проведения урока по данной теме в виде игры.

Команды участников должны будут снять координаты известного объекта и полученные координаты трех вершин прямоугольного объекта передать команде соперников. По полученным данным команды вычисляют координаты четвертой вершины объекта и делают прогноз о ее координатах с заданной точностью. После этого жюри сверяет реальные данные с полученным прогнозом. Победителем будет считаться команда, сделавшая более точные измерения и получившая координаты с более высокой точностью.
План проведения урока геометрии по теме «Площадь многоугольника».

Цель проведения занятия:

1. Закрепление формулы вычисления площади треугольника.

2. Повышение мотивации учащихся путем решения задачи практического содержания.

Основные знания и умения:

Уметь разбить фигуру на простые фигуры и вычислить площадь объекта; уметь правильно оценивать полученный результат.

Основные понятия, необходимые для проведения занятия.

Определение площади - неотрицательная величина, удовлетворяющая трем аксиомам:

1.                           единицей площади считать площадь квадрата со стороной единица измерения.

2.                           площади равных фигур равны.

3.                           площадь фигуры равна сумме площадей не перекрывающихся ее частей.

Формула площади треугольник: .

Формула длины отрезка: .

Желательно применение программы MathCAD или Живой математики для уменьшения вычислительной нагрузки на учащихся.

Содержание и ход урока.

Учащимся выдается задание по определению координат некоторого объекта на местности. Результаты измерений ученикам предлагается нанести либо на карту, либо на план местности.

Следующее задание определение площади исследуемого объекта. Для этого можно использовать разные методы.

Самым простейшим является метод определение площади с помощью «полеток» - кальки с нанесенной сеткой заданного размера. При наложении кальки на карту местности можно определить площадь объекта с очень грубым приближением.

Можно приблизительно считать объект состоящим из прямоугольников, и зная измерения всех элементарных частей вычислить общую площадь, используя только формулу площади прямоугольника.

Самым интересным методом можно считать разбиение рассматриваемого объекта на треугольники. Затем учащимся придется посчитать площадь каждого треугольника и затем найти площадь рассматриваемой фигуры.

В заключении занятия учителю необходимо сравнить результаты, если возможно, оценить погрешность измерений и вычислений.
План проведения урока геометрии по теме «Тригонометрия прямоугольного треугольника».

Цель занятия:

1.     Закрепить знания о тригонометрии прямоугольного треугольника.

2.     Познакомить учащихся с составлением формул движения планет.

3.     Познакомить учащихся  с движением Земли вокруг Солнца и вращением Земли вокруг своей оси.

Основные понятия:

Как известно, Земля обращается по своей орбите вокруг Солнца. Для нас, находящихся на поверхности Земли людей, такое годовое движение Земли вокруг Солнца заметно в виде годового перемещения Солнца на фоне звезд. Как мы уже знаем, путь Солнца среди звезд является большим кругом небесной сферы и называется эклиптикой. Значит, эклиптика является небесным отражением орбиты Земли, поэтому плоскость орбиты Земли называют еще плоскостью эклиптики. Ось вращения Земли не перпендикулярна плоскости эклиптики, а отклоняется от перпендикуляра на угол . Благодаря этому на Земле происходит смена времен года (см. рис.). Соответственно, и плоскость земного экватора наклонена на этот же угол к плоскости эклиптики. Линия пересечения плоскости земного экватора и плоскости эклиптики сохраняет (если не учитывать прецессию) неизменное положение в пространстве. Один ее конец указывает на точку весеннего равноденствия, другой - точку осеннего равноденствия. Эти точки неподвижны относительно звезд (с точностью до прецессионного движения!) и вместе с ними участвуют в суточном вращении.

Вблизи 21 марта и 23 сентября Земля расположена относительно Солнца таким образом, что граница света и тени на поверхности Земли проходит через полюса. А поскольку каждая точка на поверхности Земли совершает суточное движение вокруг земной оси, то ровно половину суток она будет на освещенной части земного шара, а вторую половину - на затененной. Таким образом, в эти даты день равен ночи, и они называются соответственно днями весеннего и осеннего равноденствий. Земля в это время находится на линии пересечения плоскостей экватора и эклиптики, т.е. в точках весеннего и осеннего равноденствий, соответственно.

Выделим еще две особенные точки на орбите Земли, которые называются точками солнцестояний, а даты, на которые приходится прохождение Земли через эти точки, днями солнцестояний.

В точке летнего солнцестояния, в которой Земля бывает вблизи 22 июня (день летнего солнцестояния), северный полюс Земли направлен в сторону Солнца, и большую часть суток любая точка северного полушария освещена Солнцем, т.е. в эту дату день - самый длинный в году.

В точке зимнего солнцестояния, в которой Земля бывает вблизи 22 декабря (день зимнего солнцестояния), северный полюс Земли направлен в сторону от Солнца, и большую часть суток любая точка северного полушария находится в тени, т.е. в эту дату ночь - самая длинная в году, а день - самый короткий.

Из-за того, что календарный год по продолжительности не совпадает с периодом обращения Земли вокруг Солнца, дни равноденствий и солнцестояний в разные годы могут приходиться на разные дни (±один день от названных выше дат). Однако в дальнейшем при решении конкретных задач мы будем пренебрегать этим и считать, что дни равноденствий и солнцестояний всегда приходятся на указанные выше даты.

Видимое годовое движение Солнца

Рассмотрим видимое движение Солнца для наблюдателя, находящегося на широте j . В течение года центр Солнца движется по большому кругу небесной сферы, по эклиптике, против часовой стрелки. Поскольку плоскость эклиптики в пространстве неподвижна относительно звезд, то эклиптика вместе со звездами будет участвовать в суточном вращении небесной сферы. В отличие от небесного экватора и небесного меридиана эклиптика будет менять свое положение относительно горизонта в течение суток.

Рассмотрим как изменяются координаты Солнца в течении года. Прямое восхождение a₀ изменяется от 0 до 24^h, а склонение d₀ изменяется от -e до +e. Лучше всего это можно увидеть на небесной карте экваториальной зоны (рис.).

Для четырех дней в году мы знаем координаты Солнца точно. Ниже в таблице даны эти сведения.

 

 

В таблице указана также полуденная (в момент верхней кульминации) высота Солнца на эти даты. Для того, чтобы вычислить высоту Солнца в моменты кульминаций на любой другой день года, нам необходимо знать d₀ в этот день:  h₀(кульм.) = d₀ ± (90° - j)

 

Таким образом, перед нами встает задача научиться приближенно рассчитывать координаты Солнца на любой день года.

В первом приближении Солнце движется по эклиптике равномерно: за 365^d  проходит 360^o, примерно 1^o в сутки, а точнее 59',2. Как будут при этом меняться d₀ и a₀? Точный ответ можно получить только из решения сферических треугольников, и в данной рекомендации мы этим заниматься не будем. Важно понять, что даже при строго равномерном движении Солнца по эклиптике (что, вообще говоря, не так из-за эллиптичности земной орбиты: вблизи перигелия Земля, а соответственно и Солнце среди звезд, движется быстрее, чем в афелии), изменение экваториальных координат Солнца происходит неравномерно. Мы пренебрежем здесь неравномерностью в изменении прямого восхождения, и будем считать, что суточное изменение = 59',2. Склонение быстрее всего изменяется вблизи равноденствий, примерно ±0°,4в сутки в течение 30^d до и в течение 30^d после равноденствия. Медленнее всего изменения склонения Солнца происходят вблизи солнцестояний: ±0°,1в сутки в течение 30^d до и в течение 30^d после солнцестояния. В промежутках скорость изменения склонения Солнца приблизительно ±0°,3в сутки. Подробнее скорость изменения склонения в разное время года представлена в таблице.

 

 

Этой таблицей мы будем пользоваться, чтобы вычислять склонение Солнца на любой день года.

Пример. Определить максимальную высоту Солнца в Москве 1 ноября 2008 года.

Необходимо определить ближайшую к данной дату, на которую склонение Солнца нам известно точно, т.е. либо день солнцестояния, либо день равноденствия, и зафиксировать значение склонения Солнца в этот день. В данном случае это день осеннего равноденствия 23 сентября и  d₀ в этот день равно 0^o00'.

Рассчитаем количество дней, прошедших с этой даты до дня, на который нам необходимо узнать склонение Солнца. В нашем случае это 38 дней.

Выясним по таблице скорость изменения склонения с этот период. Это 30 дней по -0°,4 и 7 дней по -0°,3, итого Dd=30^d×(-0°,4) + 7^d×(-0°,3) = -14°,1.

d₀=0°00¢ + (-14°,1) = -14°6¢.

Рассчитать высоту Солнца в верхней кульминации по формуле

h_max=-14°6¢+90°-55°44¢=20°10¢

 

Содержание и ход урока.

         Педагог предлагает ученику сделать сообщение по астрономии и рассказать о движении Земли вокруг Солнца и движении Земли вокруг своей оси. Сообщение должно содержать историю исследования движения планет и вывод формул по вычислению максимальной высоты Солнца в конкретный день.

Учащимся предлагается вычислить решить несколько примеров по определению максимальной высоты Солнца в конкретный день (один из примеров должен содержать расчеты на день проведения эксперимента).

Педагог рассказывает ход экспериментальной работы по теме «Определение высоты объекта по тени, отбрасываемой объектом» и напоминает теоретические сведения.

Учащиеся оформляют карту эксперимента, которая должна содержать чертеж и основные формулы для вычислений.

Пример.

h_max=-14°6¢+90°-55°44¢=20°10¢

Координаты объекта:

Первая координата объекта	Вторая координата объекта	Третья координата объекта (высота)

 

Координаты конца отбрасываемой тени во время наибольшей высоты Солнца над горизонтом (лучше около 12 часов дня):

Первая координата конца тени	Вторая координата конца тени	Третья координата конца тени (высота)

 

Вычисление длины тени:

Вычисление высоты объекта:

Для нахождения расстояния между точками пользуемся формулой расстояния между точками .

        

 План проведения урока геометрии по теме «Тригонометрия прямоугольного треугольника».

Рекомендуется для проведения в профильных классах.

Цель занятия:

1.     Сформировать знания по определению склонения Солнца.

2.     Закрепить знания о тригонометрии прямоугольного треугольника.

3.     Познакомить учащихся с составлением формул движения планет.

4.     Познакомить учащихся  с движением Земли вокруг Солнца и вращением Земли вокруг своей оси.

Основные понятия:

        

При изучении спутниковой радионавигации необходимо иметь определенный объем знаний о системах координат, в которых осуществляется движение навигационных спутников и производятся навигационные определения потребителей.
Орбиты спутников связываются с воображаемыми линиями, которые можно провести по поверхности Земли, небесной сферы и через точки на небесной сфере.

В разные моменты года Солнце, при наблюдениях с Земли, проектируется на различные участки звездного неба. Траектория кажущегося перемещения Солнца по небесной сфере называется эклиптикой. Эклиптика представляет собой окружность, пересекающуюся с небесным экватором под углом e= 23,5° (рис. 3.4) в двух противоположных точках, которые называются:
g - точка весеннего равноденствия
W - точка осеннего равноденствия.
Точки солнцестояний (летнего и зимнего) отстоят по эклиптике от точек равноденствия в обе стороны на 90°. Полный оборот Солнца по эклиптике совершается за 365,25 суток.

 

Склонением небесного светила j называется угол между направлением из центра небесной сферы на данное светило и плоскостью небесного экватора.

Угол склонения небесного тела зависит от двух временных значений: времени суток и дня (порядкового) в году.

Для определения условного номера дня в году воспользуемся формулой:

№ дня = текущее дата + месячный сдвиг (определяется по таблице)

Для минимизации влияния високосного дня, будем вести отсчет дней от весеннего солнцестояния.

месяц	Величина сдвига
январь	-82
февраль	-51
март	-23
апрель	+8
май	+38
июнь	+69
июль	+99
август	+130
сентябрь	+161
октябрь	+191
ноябрь	+222
декабрь	+252

 

Пользуясь тригонометрической зависимостью угла склонения Солнца от времени суток и от порядкового дня в году, составляем формулу искомого угла:

Пример.

Рассчитаем угол склонения Солнца на 14.00 часов 1 ноября 2008 года в Москве.

Пользуясь таблицей находим номер_дня ­-  223.

Широта Москвы составляет 55,7°.

Содержание и ход урока.

План проведения урока и исследований описан в рекомендациях для основной школы. Только вычисления угла склонения Солнца рекомендуется вывести учащимся самостоятельно и рассчитать с помощью формулы высоту Солнца в момент проведения эксперимента.

 

План проведения урока по теме «Математическое ожидание и дисперсия» для учащихся 9 класса.

Цель занятия:

1.                          Познакомить учащихся с понятием средней величины, математического ожидания и дисперсии.

2.                          Подтвердить на реально полученных измерениях правильность математических формул.

Ход урока.

Предлагается провести лекционно-семинарское занятие с применением лабораторных исследований.

Лекционная часть.

Преподаватель рассказывает теоретические основы статистических измерений. Излагается теоретический материал и сообщаются формулы среднего арифметического, медианы распределения случайных величин, математического ожидания, среднего квадратичного отклонения. Излагаемый материал можно подобрать в зависимости от уровня знаний и умений учащихся.

При проведении повторных измерений какой-либо величины получаются различные результаты, отличающиеся друг от друга больше, чем сумма погрешностей прибора и отсчета. Это вызвано действием случайных факторов, которые невозможно устранить в процессе эксперимента. Разброс результатов происходит практически всегда при выполнении серии экспериментов. В этом случае за приближенное значение измеряемой величины берут среднее арифметическое.

В заключении урока лучше рассмотреть вопрос о точности оценки математического ожидания исследуемой величины.

Также предлагается определить дисперсию D и среднее квадратичное s отклонение случайных величин (измерений).

;

Можно проверить справедливость формулы для вычисления дисперсии: .

Пример. Вычисление характеристик, полученных результатов:

хi	2	5	7	8
ni	3	8	7	2

;

;

Интересно также рассмотреть моду и медиану полученного ряда измерений.

В заключении преподаватель ставит перед учащимися задачу: провести независимые испытания ( например, координат или скорости с помощью приборов ) и сравнить различные средние величины – среднее арифметическое значение распределения, медиана распределения, математическое ожидание распределения.

Лабораторная работа.

Учащиеся проводит измерения и заносят их в таблицу. Желательно в таблице кроме самих измерений отражать дополнительную информацию, которая может повлиять на ошибку измерений ( погодные условия – облачность, количество видимых спутников, расположение спутников относительно объекта ). Затем предлагается учащимся вычислить для полученных данных среднее арифметическое, медиану полученных результатов и математическое ожидание. Ребятам предлагается сделать выводы.

 

План проведения урока по теме «Обработка статистических данных» с применение программного продукта «Живая статистика. Наглядный анализ данных».

Цель занятия:

1.     Популяризация изучения математической статистики;

2.     Ознакомление с принципами исследовательской работы.

3.     Изучение влияния местоположения спутников системы ГЛОНАСС на точность измерений.

Работу с программой «Живая статистика» можно организовать разными способами. Вариантов много – от индивидуального подхода: каждый ученик накапливает данные и обрабатывает самостоятельно, до использования одного компьютера в классе – для демонстрации и обсуждения всем классом. Важно, чтобы учащиеся заинтересовались проектом и самостоятельно не только собирали данные, но и сделали выводы по поставленной проблеме или сформулированной гипотезе.

Сначала необходимо познакомиться с системой работы GPS/ГЛОНАСС навигатора. Возможно, учитель ознакомит учащихся с принципами работы системы и с факторами, влияющими на точность измерений. Можно поручить ученикам, найти необходимую информацию и подготовить сообщение или презентацию.

Содержание и ход урока.

Учитель знакомит учеников с работой системы.

Преподаватель формулирует гипотезу исследования: Определить, что больше влияет на точность измерений: количество спутников, находящихся в зоне видимости, или расположение спутников относительно нахождения исследователя?

Учащимся раздаются рабочие листы, в которых они отражают информацию для исследования.

После сбора информации учащиеся формулируют гипотезу, пытаются сформулировать ответ на поставленный вопрос.

Теперь можно переходить к работе с программой «Живая статистика».

Каждому ученику дается возможность разбить полученную информацию по различным критериям и построить свою диаграмму.

Учитель предлагает выяснить: как влияет количество спутников на точность измерений? Какой процент «удачных» измерений получается при 3, 4 или 5 и более спутниках?

Затем переходим к исследованию точности измерений от расположения спутников, относительно прибора. Учащимся предлагается построить диаграммы зависимости точности от расположения спутников.

После обсуждения учащимися учитель помогает сформулировать ответ на вопрос, освещенный в целее эксперимента. Желательно после получения данных попытаться найти математические объяснения полученным результатам.

Список литературы.

 

1.               Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 класса средней школы. М., Просвещение, 2002.

2.               Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9 классы. М., Мнемозина, 2008.

3.               Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразовательных учебных заведений. 5-9 классы. М., Дрофа, 2002.

4.               ГЛОНАСС. Информационный Бюллетень. 1996, №1, стр.23, М., Координационно-информационный центр.

5.               ГЛОНАСС. Информационно-аналитический центр.

6.               http://epizodsspace.testpilot.ru/bibl/schternf/ot-isz/02.html

7.               http://www.rda.zoj.ru/gps/gps.html